Les technologies de l'information et de la communication (TIC) aux services de l'enseignement de la logique aux apprenants des disciplines d'humanités : LOGIC, un outil en ligne, dynamique et interactif.

LOGIC is a tool which brings, with learning from the disciplines of humanities, a complement with the lecture of logic, based on the method of natural
deduction of Gentzen, exempted by the teacher, in their
propose of the dynamic examples and the interactive exercises. It is a free tool, available on line (http://www.lalic.paris4.sorbonne.fr/LOGIC/).
Se servir de l’informatique comme un outil dynamique
et interactif : dynamique en montrant comment se déroule, dans le temps, une démonstration ; interactif en faisant intervenir l’apprenant qui est ainsi sollicité de
façon active, pour compléter les raisonnements. En cas de difficultés, l’apprenant peut demander en ligne une
aide et obtenir la solution locale et une indication des connaissances utiles à la résolution du problème posé.
Ainsi, on passe, grâce au logiciel, d’une lecture passive d’un ouvrage à une appropriation active d’un savoir par une série ordonnée d’exercices où l’apprenant est sollicité en lui donnant, à chaque pas, les possibilités d’être secouru. On voit donc par ce logiciel, qui peut être appelé à tout
instant, l’apport de l’informatique à un enseignement interactif et actif.
LOGIC est un outil qui apporte, aux apprenants des
disciplines d’humanités, un complément au cours magistral
de logique dispensé par l’enseignant, en leur proposant des exemples dynamiques et des exercices interactifs.
La logique est l’art de bien raisonner, la discipline de
la déduction, des démonstrations rigoureuses, de la
mécanisation des preuves…
Mais la logique est aussi le lieu des interprétations, de la signification des énoncés, celui des modèles ou mondes possibles.
Ainsi, la logique se construit dans l’opposition entre syntaxe et sémantique : la syntaxe est le monde des symboles, des opérations grammaticales vides de tout contenu, la sémantique est le lieu des interprétations, des modèles ou mondes possibles, le lieu des réalisations, le lieu où une signification est donnée.
En logique mathématique, on doit distinguer entre une conception “axiomatique” de la logique, qui fût
celle de Frege, Russel et Hilbert, et une conception plus “pragmatique” en terme d’actes de preuves, que l’on
retrouve dans les systèmes de déduction naturelle de
Gentzen.
LOGIC est basé sur la méthode de déduction naturelle de Gentzen qui présente la notion de démonstration de manière tout à fait naturelle : par exemple, elle tend à imiter la manière spontanée du mathématicien ; elle
permet de montrer comment certaines preuves déductives
propagent l’évidence ; elle tend à expliquer le sens des symboles logiques pris isolément.
Prenons le raisonnement suivant, exprimé en langue
naturelle :
(1) Si le ciel se couvre, il risque de pleuvoir. S’il
risque de pleuvoir, il est bon de prendre un parapluie.
Donc, si le ciel se couvre, il est bon de prendre un parapluie.
Posons les abréviations suivantes pour simplifier les
écritures :
p = le ciel se couvre
q = il risque de pleuvoir
r = il est bon de prendre un parapluie
Le raisonnement (1) s’exprime par l’expression (2), avec les propositions élémentaires p, q et r :
(2) si p, q ; si q, r ; donc si p, r
Nous avons un raisonnement où la dernière proposition (si p, r) est déduite des deux premières (si p, q et si q, r).
Introduisons le connecteur propositionnel ⊃ et le
connecteur de conjonction &. L’expression (2) du
raisonnement s’exprime maintenant par (3) :
(3) (p⊃q) & (q⊃r) donc (p⊃r)
Exprimons maintenant le donc déductif par :
Si les hypothèses (p⊃q) et (q⊃r) sont posées,
Alors il s’ensuit que l’on a (p⊃r)
Nous obtenons l’expression (4) :
(4) si (p⊃q) & (q⊃r) donc (p⊃r)
Pour mieux exprimer le rôle des hypothèses et celui de la conclusion, nous exprimons l’expression (4) par une déduction naturelle :
1 p⊃q hyp
2 q⊃r hyp
3 p⊃r 1, 2
Nous indiquons clairement les hypothèses aux lignes 1 et 2. Nous indiquons la conclusion à la ligne 3, en mentionnant les lignes qui sont les prémisses de la conclusion.
Comment pouvons-nous affirmer que la conclusion exprimée à la ligne 3 est déduite des hypothèses exprimées
aux lignes 1 et 2 ? Quelles sont les règles qui justifient
une telle décision ? La méthode de déduction naturelle
précise justement les règles et l’utilisation des règles
qui permettent de justifier certains raisonnements (les
raisonnements valides) et de rejeter les autres raisonnements.
Une déduction se présente comme une suite de lignes
où :
- chaque ligne est identifiée par un numéro (le numéro
de la séquence dans la déduction) ;
- chaque ligne exprime une proposition qui est soit
posée comme hypothèse, soit déduite des lignes
précédentes en appliquant les règles d’élimination
ou d’introduction ;
- chaque ligne se termine par une justification qui
indique
• soit la (ou les) règle(s) utilisée(s) et les prémisses
appelées par la (ou les) règle(s), ces prémisses étant
identifiées par leurs numéros séquentiels ;
• soit le statut d’hypothèse de la proposition
exprimée à cette ligne.
D’une façon générale, une déduction est une suite de
propositions P1, …, Pi, …, Pn où chaque proposition Pi est
soit une hypothèse que l’on introduit, soit une conclusion
déduite des prémisses P1, …, Pi-1 déjà déduites ou
introduites comme des hypothèses.
Les schémas de règles de la méthode de déduction
naturelle sont soit des schémas d’élimination, soit des
schémas d’introduction d’un symbole logique.
LOGIC propose aux apprenants, à travers une interface
web (http://www.lalic.paris4.sorbonne.fr/LOGIC/)
compatible avec tous les navigateurs acceptant le lecteur
d’applications Flash, un rappel des principaux éléments
théoriques (en particulier les règles d’introduction et
d’élimination des opérateurs) illustrés par des exemples
dynamiques et des exercices interactifs de trois catégories.
Le cours est organisé en deux parties. La première partie
est consacrée à la logique des propositions et comprend
9 exemples et 64 exercices répartis en quatre blocs et
deux séries d’exercices formels en langue naturelle. La
seconde partie est consacrée à la logique des prédicats
et comprend 7 exemples, 46 exercices répartis en neuf
blocs. Ce découpage permet d’introduire les notions
les unes après les autres et de grouper les exercices par
règles, donnant la possibilité aux apprenants de réaliser
un parcours d’apprentissage progressif.
Dans chaque bloc introduisant des règles, le fonctionnement
de chaque règle est illustré par des exemples dynamiques.
L’animation des exemples présente de nombreux
avantages par rapport à une version statique (sur papier,
par exemple), en effet, elle reproduit la présentation
que pourrait en faire le professeur au tableau, étape
par étape. Elle présente également des avantages sur la
présentation du professeur car chaque apprenant peut
aller à son rythme et reprendre à sa guise les points qui
lui pose problèmes. Une fois démarrée, l’animation montre
comment la déduction est construite ligne par ligne en
modifiant la couleur des propositions mise en jeu dans la
règle en cours d’exécution et en construisant la nouvelle
ligne dynamiquement. Dans chaque animation, des boutons
permettent soit d’obtenir de l’aide, soit de modifier le
déroulement de l’animation.
Ecran des exemples animés
Les exercices interactifs sont proposés aux apprenants
afin de leur permettre de tester leur compréhension du
problème. Ces exercices peuvent être classés en trois
catégories :
- les exercices où certaines règles utilisées lors de la
déduction doivent être trouvées : dans ces exercices,
certaines règles qui ont été appliquées lors de la
déduction n’ont pas été indiquées, l’exercice consiste
donc à étudier les expressions afin de déterminer la
règle qui a été utilisée ; Exercice où déterminer les règles
- les exercices où certaines expressions de la déduction
manquent : dans ces exercices, les règles qui ont
été appliquées lors de la déduction sont toutes écrites
mais certaines expressions manquent, l’exercice
consiste donc à appliquer la règle pour déterminer
l’expression ;
Exercice où déterminer les expressions
- les exercices basés sur le langage naturel : dans ces
exercices, il faut formaliser l’énoncé en langue naturelle
dans la logique des propositions ou dans la logique
des prédicats et parfois, faire la démonstration.
Exercice formel
L’apprenant déroule les exercices à son rythme, il écrit
et valide ses réponses ou peut demander de l’aide ou la
solution.
LOGIC est utilisé notamment par les étudiants de
l’université Paris-Sorbonne en Licence « Lettres classiques
et modernes, sciences du langage », parcours « Langue
Française et Techniques Informatiques » et en Master
« Information et Communication. Informatique et
Ingénierie de la Langue pour la Gestion de l’Information »,
parcours « Logique, Sémantique, Cognition et Informatique ».
Ce type d’outil, qui permet à l’apprenant d’approfondir
la formalisation logique des énoncés en langue naturelle
en logique des propositions ou en logique des prédicats,
est encore assez peu fréquent sur internet, en langue
française.
Références
Desclés, J-P. (1995). Méthode de la déduction naturelle
(d’après Gentzen). Cours du DEA MIASH. Université
Paris-Sorbonne
Gentzen, G. (1934). Untersuchungen über das logische
Schliessen. Mathematische Zeitschrift 39
Le Kien Van, C. (2002). Cours interactif de logique. Mémoire de DEA. Université Paris-Sorbonne
Desclés, J-P., Djioua, B., Le Kien Van, C., Le Priol, F. (2005). LOGIC : Aide dynamique et interactive pour l’apprentissage de la logique des propositions
et des prédicats selon la méthode de déduction
naturelle. Cahiers LaLICC n°2005/01